Question

【題目】已知矩形紙片中，，將矩形紙片的右下角沿線段折疊，使矩形的頂點(diǎn)B落在矩形的邊上，記該點(diǎn)為E，且折痕的兩端點(diǎn)M，N分別在邊上.設(shè)，的面積為S.

（1）將l表示成θ的函數(shù)，并確定θ的取值范圍；

（2）求l的最小值及此時(shí)的值；

（3）問(wèn)當(dāng)θ為何值時(shí)，的面積S取得最小值？并求出這個(gè)最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2），的最小值為.（3）時(shí)，面積取最小值為

【解析】

（1）,利用三角函數(shù)定義分別表示,且,即可得到關(guān)于的解析式；,,則,即可得到的范圍；

（2）由（1）,若求l的最小值即求的最大值,即可求的最大值,設(shè)為,令,則,即可設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,即可求得的最大值,進(jìn)而求解；

（3）由題,,則,設(shè),,利用導(dǎo)函數(shù)求得的最大值,即可求得的最小值.

解:（1）,

故.

因?yàn)?/span>,所以，,

所以,

又,,則,所以,

所以

（2）記,

則,

設(shè),,則,

記,則,

令,則,

當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,

所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

故當(dāng)時(shí)取最小值,此時(shí),的最小值為.

（3）的面積,

所以,設(shè),則,

設(shè),則,令,,

所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,

所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

故當(dāng),即時(shí),面積取最小值為