【題目】已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) m的取值范圍是;(2)實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
【解析】試題分析:(1)即求函數(shù)在區(qū)間上值域,先求導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn),列表分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化規(guī)律,確定單調(diào)性,進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性求值域,(2)先參變分離,轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值:的最小值,利用二次求導(dǎo)可得函數(shù)單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性確定其最小值取法,最后根據(jù)最小值得實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析:(1)方程即為.
令,則.
令,則(舍),.
當(dāng)x∈[1, 3]時(shí),隨x變化情況如表:
x | 1 | 3 | |||
+ | 0 | - | |||
極大值 |
∴當(dāng)x∈[1,3]時(shí),.
∴m的取值范圍是.
(2)據(jù)題意,得對(duì)恒成立.
令,
則.
令,則當(dāng)x>0時(shí),,
∴函數(shù)在上遞增.
∵,
∴存在唯一的零點(diǎn)c∈(0,1),且當(dāng)x∈(0,c)時(shí),;當(dāng)時(shí),
.
∴當(dāng)x∈(0,c)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
∴在(0,c)上遞減,在上遞增,從而.
由得,即,兩邊取對(duì)數(shù)得,
∴.
∴,即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),且該拋物線經(jīng)過點(diǎn),其焦點(diǎn)在軸上.
(Ⅰ)求過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn),,求的最小值.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,且,橢圓過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,直線交橢圓于另一個(gè)點(diǎn),求的面積.
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【題目】對(duì)于在區(qū)間上有意義的函數(shù),滿足對(duì)任意的,,有恒成立,厄稱在上是“友好”的,否則就稱在上是“不友好”的,現(xiàn)有函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間()上是“友好”的,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若關(guān)于的方程的解集中有且只有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】對(duì)于區(qū)間,若函數(shù)同時(shí)滿足:①在上是單調(diào)函數(shù);②函數(shù)的值域是,則稱區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間.(1)寫出函數(shù)的一個(gè)“保值”區(qū)間為_____________;(2)若函數(shù)存在“保值”區(qū)間,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為實(shí)數(shù),用表示不超過的最大整數(shù).
(1)若函數(shù),求的值;
(2)若函數(shù),求的值域;
(3)若存在且,使得,則稱函數(shù)是函數(shù),若函數(shù) 是函數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) 在橢圓:上,且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、,點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)),過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).
①若點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的斜率為,求的面積;
②若點(diǎn)的坐標(biāo)為,連結(jié)交于點(diǎn),記直線的斜率分別為,證明:是定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)()是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若,,求的取值范圍.
(3)若,且在上恒成立,求的范圍.
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