Question

【題目】如圖，在三棱錐中，頂點(diǎn)在底面上的射影在棱上，，，，為的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）已知是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，且平面，求線段的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；

(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，求得半平面的法向量，利用法向量計(jì)算余弦值即可；

(Ⅲ)利用空間向量求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)可得線段的長(zhǎng).

（Ⅰ）∵頂點(diǎn)在底面上的射影在棱上，

∴平面平面，

∵，∴，

∵平面平面，∴平面，面，∴，

由，，得，∴，

∵，∴平面．

（Ⅱ）連結(jié)，分別以、、為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，，

，，，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，

取，得，

，，

設(shè)平面的法向量，則，

取，則，

設(shè)二面角的平面角為，則．

∴二面角的余弦值為．

（Ⅲ）設(shè)，，

因?yàn)?/span>平面，所以

所以，，所以．