【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(12分)
(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.
(。┰囌f(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性;
(ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

經(jīng)計(jì)算得 = =9.97,s= = ≈0.212,其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用樣本平均數(shù) 作為μ的估計(jì)值 ,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值 ,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查?剔除( ﹣3 +3 )之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01).
附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592, ≈0.09.

【答案】
(1)

解:由題可知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之內(nèi)的概率為0.9974,

則落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率為1﹣0.9974=0.0026,

因?yàn)镻(X=0)= ×(1﹣0.9974)0×0.997416≈0.9592,

所以P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,

又因?yàn)閄~B(16,0.0026),

所以E(X)=16×0.0026=0.0416;


(2)

(。┯桑1)知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率為0.0026,

由正態(tài)分布知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外為小概率事件,

因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法合理;

(ⅱ)因?yàn)橛脴颖酒骄鶖?shù) 作為μ的估計(jì)值 ,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值 ,

= =9.97,s= = ≈0.212,

所以 ﹣3 =9.97﹣3×0.212=9.334, +3 =9.97+3×0.212=10.606,

所以9.22 ﹣3 +3 )=(9.334,10.606),

因此需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查,剔除( ﹣3 +3 )之外的數(shù)據(jù)9.22,

則剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ= =10.02,

將剔除掉9.22后剩下的15個(gè)數(shù)據(jù),利用方差的計(jì)算公式代入計(jì)算可知σ2≈0.008,

所以σ≈0.09.


【解析】(1.)通過(guò)P(X=0)可求出P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得結(jié)論;
(2.)(。┯桑1)及知落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外為小概率事件可知該監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法合理;
(ⅱ)通過(guò)樣本平均數(shù) 、樣本標(biāo)準(zhǔn)差s估計(jì) 可知( ﹣3 +3 )=(9.334,10.606),進(jìn)而需剔除( ﹣3 +3 )之外的數(shù)據(jù)9.22,利用公式計(jì)算即得結(jié)論.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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②樣本4,2,1,0,-2的標(biāo)準(zhǔn)差是2;

③在面積為S的△ABC內(nèi)任選一點(diǎn)P,則隨機(jī)事件“△PBC的面積小于”的概率為;

④從寫有0,1,2,,9的十張卡片中,有放回地每次抽一張,連抽兩次,則兩張卡片上的數(shù)字各不相同的概率是.

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