Question

【題目】已知函數(shù)．

（）若，求在處的切線(xiàn)方程．

（）求在區(qū)間上的最小值．

（）若在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（）．（）見(jiàn)解析．（）

【解析】試題分析：（1）把a(bǔ)=2代入可得， ，進(jìn)而可得方程，化為一般式即可；

（2）可得x=為函數(shù)的臨界點(diǎn)，分≤1，1＜＜e， ，三種情形來(lái)討論，可得最值；

（3）由（2）可知當(dāng)0＜a≤1或a≥e2時(shí)，不合題意，當(dāng)1＜a＜e2時(shí)，需，解之可得a的范圍．

試題解析：（）當(dāng)時(shí)， ， ，

∴， ，

∴在處的切線(xiàn)方程為，即．

（）．

由于及定義域?yàn)?/span>，所以令得．

①若，即，則時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增，

∴在區(qū)間上的最小值為．

②若，即，則時(shí)， ， 單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

∴在區(qū)間上的最小值為．

③若，即，則時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減，

∴在區(qū)間上的最小值為．

綜上所述，當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ．

（）由（）可知當(dāng)或時(shí)， 在上是單調(diào)遞增或遞減函數(shù)，不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)，要使在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則

，即，故．

所以， 的取值范圍為