Question

【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的，都有.

（1）若， ，求的最大值；

（2）若對(duì)任意，都有，求證： .

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件變形可得，即，設(shè)，根據(jù)累加求和可得，根據(jù)不等式，可以得出的取值范圍，又因?yàn)?/span>，便可求出的最大值；（2）首先假設(shè)，根據(jù)已知條件得 ，于是通過(guò)證明對(duì)于固定的值，存在，由此得出與矛盾，所以得到，再設(shè)，則根據(jù)可得，接下來(lái)通過(guò)放縮，可以得到，于是可以得出要證的結(jié)論.

試題解析：（1）由題意知，設(shè) ，

則，且，

，

所以，

.

（2）若存在，使得，則由，

得，

因此，從項(xiàng)開(kāi)始，數(shù)列嚴(yán)格遞增，

故 ，

對(duì)于固定的，當(dāng)足夠大時(shí)，必有，與題設(shè)矛盾，所以不可能遞增，即只能.

令， ，

由，得， ，

故 ，

，

所以，

綜上，對(duì)一切，都有.