Question

【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)，）,(,),

⑴若，．求在上的最大值的表達(dá)式；

⑵若時(shí)，方程在上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)根的取值范圍；

⑶若，,求使得圖像恒在圖像上方的最大正整數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)．

【解析】試題分析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用分類整合思想求解；(2)依據(jù)題設(shè)運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行探求；(3)依據(jù)題設(shè)構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識求解．

試題解析：

(1)時(shí)，,

;

①當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，此時(shí)，

②當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，

故在上為增函數(shù)，此時(shí)…………………………………2分

③當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

若，即時(shí)，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

此時(shí)………………………………5分

若，即時(shí)，在上為增函數(shù)，則此時(shí)，

綜上所述：………………………………6分，

（2），，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，……………7分

在上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，

，

實(shí)數(shù)的取值范圍是，…………………………………10分

（3）由題設(shè)：,，（*）

，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

（*），

設(shè)，則，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，…………………………12分

而，

且，

故存在，使，

且時(shí)，，時(shí)，，

又，，時(shí)，使的圖像恒在圖像的上方的最大整數(shù)………………14分．