Question

過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|AF|•|BF|的最小值是（　�。�

• A．2
• B．

  2

• C．4
• D．2

  2

Answer 1

分析：由拋物線y²=4x與過其焦點(diǎn)（1，0）的直線方程聯(lián)立，消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)拋物線的定義得出|AF|•|BF|=x₁x₂+x₁+x₂+1，由韋達(dá)定理可以求得答案．

解答：解：由題意知，拋物線y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
當(dāng)斜率k存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
由

y2=4x  y=k(x-1)

⇒k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設(shè)出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
則 x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1．
依據(jù)拋物線的定義得出|AF|•|BF|=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1，
∴|AF|•|BF|=

2k2+4

k2

+2=4+

4

k2

＞4．
當(dāng)斜率k不存在時(shí)，|AF|•|BF|=2×2=4．
則|AF|•|BF|的最小值是4．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是聯(lián)立拋物線方程與過其焦點(diǎn)的直線方程，利用韋達(dá)定理予以解決，屬于基礎(chǔ)題．需要注意對(duì)斜率不存在的情況加以研究．