Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1） （2）答案不唯一，見(jiàn)解析 （3）

【解析】

（1）求導(dǎo)，接著單調(diào)區(qū)間，即可得出最小值；

（2）求導(dǎo)，對(duì)分類討論，可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）求出，通過(guò)分析，可得到在增函數(shù)，從而有，轉(zhuǎn)化為在上至少有兩個(gè)不同的正根，，轉(zhuǎn)化為與至少有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求出實(shí)數(shù)的最大值.

（1）當(dāng)時(shí)，，

這時(shí)的導(dǎo)數(shù)，

令，即，解得，

令得到，

令得到，

故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

故函數(shù)在時(shí)取到最小值，

故；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)

導(dǎo)數(shù)為，

若時(shí)，，單調(diào)遞減，

若時(shí)，，

當(dāng)或時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

即函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，

在區(qū)間上單調(diào)遞增.

若時(shí)，，

當(dāng)或時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，

在區(qū)間上單調(diào)遞增.

綜上，若時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間，

若時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，，增區(qū)間為，

若時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，，增區(qū)間為.

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù).

令，，

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，

，為增函數(shù)，

在區(qū)間上遞增，

∵在上的值域是，

所以在上至少有兩個(gè)不同

的正根，，

令，求導(dǎo)得，，

令，

則，

所以在遞增，，，

當(dāng)，，∴，

當(dāng)，，∴，

所以在上遞減，在上遞增，

∴，∴，

∴的最大值為.