Question

【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的極值；

（2）若在上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，極大值為，無極小值；當(dāng)時(shí)，無極值；（2）或.

【解析】

（1）求出，對(duì)分類討論求出單調(diào)區(qū)間，即可求出結(jié)論；

（2）在上存在一點(diǎn)，使得成立，即為，只需，結(jié)合（1）中的結(jié)論對(duì)分類討論求出，即可求解.

（1）依題意，定義域?yàn)?/span>，

∴，

①當(dāng)，即時(shí)，

令，∵，∴，

此時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

令，得.

此時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

②當(dāng)，即時(shí)，恒成立，

在區(qū)間上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)，

在處取得極大值，無極小值；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上無極值.

（2）依題意知，在上存在一點(diǎn)，使得成立，

即在上存在一點(diǎn)，使得，

故函數(shù)在上，有.

由（1）可知，①當(dāng)，

即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

∴，∴，

∵，∴.

②當(dāng)，或，

即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

∴，∴.

③當(dāng)，即時(shí)，

由（2）可知，在處取得極大值也是區(qū)間上的最大值，

即，

∵，∴在上恒成立，

此時(shí)不存在使成立.

綜上可得，所求的取值范圍是或.