Question

已知實數(shù)x，y滿足：e^x+y=x+1．（1）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；（2）解關于x的不等式．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)式子e^x+y=x+1把y用x表示，就可得到函數(shù)y=f（x）的解析式，求導數(shù)，因為導數(shù)大于0，得到的x的范圍是函數(shù)的增區(qū)間，導數(shù)小于0，得到的x的范圍是函數(shù)的減區(qū)間，所以只需判斷在函數(shù)定義域中何時導數(shù)大于0，何時導數(shù)小于0，就可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）先把要解的不等式變形為，不等號的左右兩邊分別是函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x當自變量為和2時的函數(shù)值，再根據(jù)f（x）的單調(diào)性就可解出不等式．
解答：解：（1）∵實數(shù)x，y滿足：e^x+y=x+1，變形，得x+y=ln（x+1），
∴y=ln（x+1）-x，
又∵y=f（x）∴f（x）=ln（x+1）-x，（x＞-1）
則
當-1＜x＜0時，f'（x）＞0； 
 當x＞0時，f'（x）＜0
∴f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增；在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）變形為
∵f（x）=ln（x+1）-x，
∴不等式等價于f（）＞f（2）
由（1）知f（x）=ln（1+x）-x在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∴f（）＞f（2）等價于＜2
解得-1＜x＜2
∴不等式解集為 {x|-1＜x＜2}
點評：本題（1）考察了導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系，導數(shù)大于0，函數(shù)為增函數(shù)，導數(shù)小于0，函數(shù)為減函數(shù)．
（2）考查了利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，關鍵是把不等式的左右兩邊都化為含函數(shù)符號的式子．