Question

【題目】對于函數(shù) ，我們把使 的實數(shù) 叫做函數(shù) 的零點，且有如下零

點存在定理：如果函數(shù) 在區(qū)間 上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 ，那么，函數(shù) 在區(qū)間 內有零點．給出下列命題：

①若函數(shù) 在 上是單調函數(shù)，則 在 上有且僅有一個零點；

②函數(shù) 有 個零點；

③函數(shù) 和 的圖像的交點有且只有一個；

④設函數(shù) 對 都滿足 ，且函數(shù) 恰有 個不同的零點，則這6個零點的和為18；

其中所有正確命題的序號為________．(把所有正確命題的序號都填上)

Answer 1

【答案】②④

【解析】函數(shù) 在 上是單調函數(shù)，則 在 上有且僅有一個零點是錯誤的；，例如 在是單調函數(shù)，但其函數(shù)值恒大于0，無零點；

函數(shù) 有3個零點正確；由于 ，可解得函數(shù) 在區(qū)間 與 上是增函數(shù)，在 是減函數(shù)，故函數(shù)存在極大值 ，極小值 ，故函數(shù)有三個零點；

函數(shù) 和 圖象的交點有且只有一個是錯誤的，因為兩函數(shù)圖象的交點的橫坐標就是函數(shù)的零點，
其中 ，所以在直線右側，函數(shù)有兩個零點．一個在 內，一個在 內，故函數(shù)

共有3個零點，即函數(shù) 和 的圖象有3個交點．
④設函數(shù) 對 都滿足 ，且函數(shù) 恰有 個不同的零點，則這6個零點的和為18是正確的，由函數(shù) 對 都滿足，可得函數(shù)的圖象關于 對稱，又函數(shù) 恰有6個不同的零點，此6個零點構成三組關于 對稱的點，由中點坐標公式可得出這6個零點的和為18．
故答案為②④