如圖,設(shè)橢圓的離心率,頂點(diǎn)的距離為,為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的射線,與橢圓分別交于兩點(diǎn).
(ⅰ)試判斷點(diǎn)到直線的距離是否為定值.若是請(qǐng)求出這個(gè)定值,若不是請(qǐng)說明理由;
(ⅱ)求的最小值.

(1);(2)(。;(ⅱ)

解析試題分析:(1)利用離心率可得關(guān)系.由兩個(gè)頂點(diǎn)距離可得,距離,由此結(jié)合可求得的值,從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)分直線的斜率不存在與存在兩種情況求解.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),情況特殊,易求解;當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立消去得到關(guān)于的一元二次方程,然后結(jié)合韋達(dá)定理與,以及點(diǎn)到直線的距離公式求解;(3)在中,利用,結(jié)合基本不等式求解.
試題解析:(1)由,得,
由頂點(diǎn)的距離為,得,
又由,解得,所以橢圓C的方程為
(2)解:(。c(diǎn)到直線的距離為定值.
設(shè),
① 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),則為等腰直角三角形,不妨設(shè)直線,
代入,解得,
所以點(diǎn)到直線的距離為;
② 當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為與橢圓
聯(lián)立消去
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a7/1/1ys5o3.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,,

所以,整理得,
所以點(diǎn)到直線的距離
綜上可知點(diǎn)到直線的距離為定值
(ⅱ)在中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c9/9/10oai2.png" style="vertical-align:middle;" />=
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0a/8/13kbz3.png" style="vertical-align:middle;" />≤

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(-3,0),一條漸近線的方程是
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若以k(k≠0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M, N,且線段MA的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,求k的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知圓,直線與圓相切,且交橢圓兩點(diǎn),c是橢圓的半焦距,.
(1)求m的值;
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,求橢圓的方程;
(3)在(2)的條件下,設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A,B,動(dòng)點(diǎn),直線與直線分別交于M,N兩點(diǎn),求線段MN的長度的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

命題:方程表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,命題:方程無實(shí)根,若為真,為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,點(diǎn)P(0,-1)是橢圓C1=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn),C1的長軸是圓C2x2y2=4的直徑.l1,l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線,其中l1交圓C2A,B兩點(diǎn),l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.

(1)求橢圓C1的方程;
(2)求△ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),短軸長為2,一條準(zhǔn)線方程為lx=2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)M是直線l上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)FOM的垂線與以OM為直徑的圓交于點(diǎn)N,求證:線段ON的長為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知直線lyx,圓Ox2y2=5,橢圓E=1(a>b>0)的離心率e,直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線,若切線都存在斜率,求證:兩條切線的斜率之積為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)直線lxym=0與拋物線Cy2=4x交于不同兩點(diǎn)A,B,F為拋物線的焦點(diǎn).
(1)求△ABF的重心G的軌跡方程;
(2)如果m=-2,求△ABF的外接圓的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)A(-2,0)與點(diǎn)B(2,0)的斜率之積為-,點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程;
(2)若點(diǎn)Q為曲線C上的一點(diǎn),直線AQ,BQ與直線x=4分別交于MN兩點(diǎn),直線BM與橢圓的交點(diǎn)為D.求證,A,DN三點(diǎn)共線.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案