Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若不等式對(duì)于任意成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1），對(duì)a分類討論以確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）不等式對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意，有成立.設(shè)，，則只要即可.

（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

.

若，則當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減.若，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.

（2）不等式對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意，有成立.

設(shè)，，則只要即可.

.

令，得；令，得.

所以函數(shù)在是哪個(gè)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以的最大值為與中的較大者.

設(shè)，

則，

所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.

從而.所以，即.

設(shè)，則，

所以在上單調(diào)遞增.

又，所以的解為.

因?yàn)?/span>，所以正實(shí)數(shù)的取值范圍為.