Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，證明：方程有且僅有3個不同的實數(shù)根.（附：，，）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，分類討論和兩種情況，即可得出結(jié)果；

（2）將代入函數(shù)解析式，得到，根據(jù)(1)中結(jié)果，得到函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)極值，即可得出結(jié)果.

解：（1）由，

得，

令，

所以，

所以當(dāng)時，，恒成立，

即恒成立，

所以單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，此時方程有兩個不相等的根，，不妨設(shè)，

令 ，

所以，，

所以當(dāng)時，，

即，所以單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，

即，所以單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，

即，所以單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；的單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）當(dāng)時，，

由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，函數(shù)有極大值，且 ，

當(dāng)時，函數(shù)有極小值，

且 .

又因為，，

所以直線與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有且僅有3個交點，

所以當(dāng)時，方程有且僅有3個不同的實數(shù)根.