【題目】已知函數(shù).

（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（II）若存在兩個極值點，求證：.

【答案】（I）見解析；（II）見解析

【解析】

（I），討論k,確定的正負即可求其單調(diào)性；（II）由（I）存在兩個極值點，，得，且，整理，證明 ，即可得解

（I）由題意得，函數(shù)的定義域為，.

當時，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增；

當時，若，即時，在上恒成立，

則在上單調(diào)遞增；若，即時，

令，解得 ，

令，解得或，令，解得，

在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；

當時，在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

（II）由（I）得，若存在兩個極值點，，則，且，

則 .

下面先證明：設(shè)，則，

易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

， ，即.

，

又由（I）得在區(qū)間上單調(diào)遞減，.

練習(xí)冊系列答案
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（1）求甲同學(xué)購買3種書籍的概率；

（2）設(shè)甲、乙同學(xué)購買2種書籍的人數(shù)為,求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.

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（1）試討論函數(shù)的零點個數(shù)；

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【題目】已知圓，一動圓與直線相切且與圓外切．

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

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【題目】 山東省《體育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以學(xué)校為單位進行體育測試，某校對高三1班同學(xué)按照高考測試項目按百分制進行了預(yù)備測試，并對50分以上的成績進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示，若90~100分數(shù)段的人數(shù)為2人.

（Ⅰ）請估計一下這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M；

（Ⅱ）現(xiàn)根據(jù)初賽成績從第一組和第五組（從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組）中任意選出兩人，形成一個小組.若選出的兩人成績差大于20，則稱這兩人為“幫扶組”，試求選出的兩人為“幫扶組”的概率.

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【題目】設(shè)函數(shù).

（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，證明：方程有且僅有3個不同的實數(shù)根.（附：，，）

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【題目】某工廠生產(chǎn)、兩種零件，其質(zhì)量測試按指標劃分，指標大于或等于的為正品，小于的為次品.現(xiàn)隨機抽取這兩種零件各100個進行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下：

測試指標

零件

8

12

40

30

10

零件

9

16

40

28

7

（Ⅰ）試分別估計、兩種零件為正品的概率；

（Ⅱ）生產(chǎn)1個零件，若是正品則盈利50元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)1個零件，若是正品則盈利60元，若是次品則虧損15元，在（Ⅰ）的條件下：

（i）設(shè)為生產(chǎn)1個零件和一個零件所得的總利潤，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（ii）求生產(chǎn)5個零件所得利潤不少于160元的概率.

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