已知拋物線C：，點A、B在拋物線C上.

（1）若直線AB過點M（2p，0），且=4p，求過A，B，O（O為坐標原點）三點的圓的方程；
（2）設直線OA、OB的傾斜角分別為，且，問直線AB是否會過某一定點？若是，求出這一定點的坐標，若不是，請說明理由.

（1）；（2）過定點

解析試題分析：（1）當直線斜率不存在時方程為，與的交點分別為M，N，弦長。此時中，，邊的中線長為,所以是直角三角形，過三點的圓的圓心為邊的中點，半徑為，則可得此圓的標準方程。（2）設點，為了省去對斜率存在與否的討論可設直線AB的方程為：。將直線與拋物線方程聯(lián)立，消去整理為關于的一元二次方程，可得根與系數(shù)的關系。根據(jù)用正切的兩角和公式展開可得關于兩點坐標間的關系。根據(jù)兩關系式可得與間的關系，故此可判斷直線是否過定點。
試題解析：（1）直線與拋物線的兩個交點坐標分別是：M，N，弦長，故三角形ABO是，所以過A，B，O三點的圓方程是：
（2）解：設點，直線AB的方程為：，它與拋物線相交，由方程組消去x可得，故，，
這樣，tan
即1=，所以，所以直線AB的方程可以寫成為：，即，所以直線AB過定點.
考點：1圓的標準方程；2拋物線與直線的位置關系問題；3直線過定點問題。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，離心率為的橢圓上的點到其左焦點的距離的最大值為3，過橢圓內(nèi)一點的兩條直線分別與橢圓交于點、和、，且滿足，其中為常數(shù)，過點作的平行線交橢圓于、兩點.

（1）求橢圓的方程；
（2）若點，求直線的方程，并證明點平分線段.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+(y－4)2=1的圓心為點M

(1)求點M到拋物線C1的準線的距離；
(2)已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的一個頂點和兩個焦點構成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線與橢圓交于、兩點，試問，是否存在軸上的點，使得對任意的，為定值，若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右頂點分別為，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點為曲線:上任一點（點不同于），直線與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關系，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖已知拋物線：過點，直線交于，兩點，過點且平行于軸的直線分別與直線和軸相交于點，．
 
(1)求的值；
(2)是否存在定點，當直線過點時，△與△的面積相等？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

拋物線，直線過拋物線的焦點，交軸于點.

（1）求證：；
（2）過作拋物線的切線，切點為（異于原點），
（i）是否恒成等差數(shù)列，請說明理由；
（ii）重心的軌跡是什么圖形，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的方程為,其中.
（1）求橢圓形狀最圓時的方程；
（2）若橢圓最圓時任意兩條互相垂直的切線相交于點，證明：點在一個定圓上.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”.若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準圓”方程；
（2）點是橢圓的“準圓”上的動點，過點作橢圓的切線交“準圓”于點.
（�。┊旤c為“準圓”與軸正半軸的交點時，求直線的方程，
并證明；
（ⅱ）求證：線段的長為定值.

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