已知橢圓的方程為,其中.
（1）求橢圓形狀最圓時的方程；
（2）若橢圓最圓時任意兩條互相垂直的切線相交于點，證明：點在一個定圓上.

（1）；（2）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、韋達定理等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計算能力.第一問，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)滿足的條件得:，且，則知橢圓的長軸在y軸上，而橢圓形狀最圓時e最小，則先得到e的表達式，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性求表達式的最小值，得到取得最小值時的的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，設(shè)出交點P的坐標(biāo)，根據(jù)直線的斜率是否存在，分2種情況討論，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于k的方程，由于兩切線垂直，則，利用上述方程的兩根之積得到的值，整理出方程形式，再驗證當(dāng)斜率不存在時P點坐標(biāo)，得到最終結(jié)論.
試題解析：（1）根據(jù)已知條件有，且，故橢圓的長軸在軸上.
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
由于橢圓的離心率最小時其形狀最圓，故最圓的橢圓方程為.    5分
（2）設(shè)交點，過交點的直線與橢圓相切.
(1)當(dāng)斜率不存在或等于零時，易得點的坐標(biāo)為.    6分
(2)當(dāng)斜率存在且非零時，則設(shè)斜率為，則直線：，
與橢圓方程聯(lián)立消，得：.
由相切，，
化簡整理得.①
因過橢圓外一點有兩條直線與橢圓相切，由已知兩切線垂直，故，而為方程①的兩根，
故，整理得：.
又也滿足上式，
故點的軌跡方程為，即點在定圓上.   13分
考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、韋達定理.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)，過點作直線(不與軸重合)交橢圓于、兩點，連結(jié)、分別交直線于、兩點，試探究直線、的斜率之積是否為定值，若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線C：，點A、B在拋物線C上.

（1）若直線AB過點M（2p，0），且=4p，求過A，B，O（O為坐標(biāo)原點）三點的圓的方程；
（2）設(shè)直線OA、OB的傾斜角分別為，且，問直線AB是否會過某一定點？若是，求出這一定點的坐標(biāo)，若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

巳知橢圓的離心率是.
⑴若點P(2,1)在橢圓上，求橢圓的方程；
⑵若存在過點A(1,0)的直線，使點C(2,0)關(guān)于直線的對稱點在橢圓上，求橢圓的焦距的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是橢圓上不同的三點，，，在第三象限，線段的中點在直線上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求點C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)動點在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點，證明為定值并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（1）已知定點、，動點N滿足（O為坐標(biāo)原點），，，，求點P的軌跡方程.
（2）如圖，已知橢圓的上、下頂點分別為，點在橢圓上，且異于點，直線與直線分別交于點，

（ⅰ）設(shè)直線的斜率分別為、，求證：為定值；
（ⅱ）當(dāng)點運動時，以為直徑的圓是否經(jīng)過定點？請證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦距為，過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為，為坐標(biāo)原點.
（1）求橢圓的方程.
（2）設(shè)斜率為的直線與相交于、兩點，記面積的最大值為，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，其長軸長與短軸長的和等于6．

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，設(shè)橢圓的上、下頂點分別為，是橢圓上異于的任意一點，直線分別交軸于點，若直線與過點的圓相切，切點為．證明：線段的長為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知曲線E：ax2＋by2＝1(a>0，b>0)，經(jīng)過點M的直線l與曲線E交于點A、B，且＝－2.
(1)若點B的坐標(biāo)為(0，2)，求曲線E的方程；
(2)若a＝b＝1，求直線AB的方程．

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同步練習(xí)冊答案