Question

【題目】已知函數(shù) ，其中ω＞0． （I）若對任意x∈R都有 ，求ω的最小值；
（II）若函數(shù)y=lgf（x）在區(qū)間 上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知f（x）在 處取得最大值，

∴ ；

解得 ，

又∵ω＞0，∴當(dāng)k=0時(shí)，ω的最小值為2；

（Ⅱ）解法一：∵ ，

∴ ，

又∵y=lgf（x）在 內(nèi)單增，且f（x）＞0，

∴ ．

解得： ．

∵ ，∴ 且k∈Z，

又∵ω＞0，∴k=0，

故ω的取值范圍是 ．

解法二：根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得 ，

∴ ，∴0＜ω≤4，

又y=lgf（x）在 內(nèi)單增，且f（x）＞0，

∴ ；

解得： ；

可得k=0，所以ω的取值范圍是

【解析】（Ⅰ）由題意知f（x）在 處取得最大值，令 ，求出ω的最小值；（Ⅱ）解法一：根據(jù)題意，利用正弦函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式求出ω的取值范圍．

解法二：根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式求出ω的取值范圍．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識，掌握復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”．