an-1.求a0的取值范圍.">
(Ⅰ)證明對任意n≥1,an=[3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2na0;
(Ⅱ)假設(shè)對任意n≥1有an>an-1,求a0的取值范圍.
22.
(Ⅰ)證法一:(i)當(dāng)n=1時,由已知a1=1-
(ii)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)等式成立,即ak=[3k+(-1)k-12k]+(-1)k2ka0,
那么ak+1=3k-2ak=3k-[3k+(-1)k-1·2k]-(-1)k2k+
=[3k+1+(-1)k2k+1]+(-1)k+12k+
也就是說,當(dāng)n=k+1時,等式也成立.
根據(jù)(i)和(ii),可知等式對任何n∈N+成立.
證法二:如果設(shè)an-a3n=-2(an-1-a3n-1),
用an=3n-1-2an-1代入,可解出a=.
所以{an-}是公比為-2,首項為a1-的等比數(shù)列,
∴an-=(1-
即an= +(-1)n2na0.
(Ⅱ)解法一:由an通項公式
an-an-1=+(-1)n3×2n-
∴an>an-1(n∈N+)等價于(-1)n-1(
(i)當(dāng)n=2k-1,k=1,2,…時,
①式即為(-1)2k-2(
即為a0<()2k-3+. ②
②式對k=1,2,…都成立,有a0<×()-1+=.
(ii)當(dāng)n=2k,k=1,2,…時,①式即為(-1)2k-1·(
即為a0>-×()2k-2+. ③
③式對k=1,2,…都成立,有a0>-×()2×1-2+=0.
綜上,①式對任意n∈N+成立,有0<a0<.
故a0的取值范圍為(0,).
解法二:如果an>an-1(n∈N+)成立,特別取n=1,2有a1-a0=1-
因此0<a0<.
下面證明當(dāng)0<a0<時,對任意n∈N+,有an-an-1>0.
由an通項公式5(an-an-1)=2×3n-1+(-1)n-13×2n-1+(-1)n5×3×2n-
(i)當(dāng)n=2k-1,k=1,2,…時,
5(an-an-1)=2×3n-1+3×2n-1-5×3×2n-
(ii)當(dāng)n=2k,k=1,2,…時,
5(an-an-1)=2×3n-1-3×2n-1+5×3×2n-
故a0的取值范圍為(0,).
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