Question

設a₀為常數，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N^*）.證明：對任意n≥1，a_n=［3ⁿ+（-1）^n-1·2ⁿ］+（-1）ⁿ·2ⁿa₀.

Answer 1

分析：所要證的等式是一個與正整數n有關的命題，而題設所給的條件又是一種遞推關系，所以可以考慮用數學歸納法證明.

證明：（1）當n=1時，左邊=右邊，即

a₁=1-2a₀等式成立.

（2）假設當n=k（k≥1）等式成立，即

a_k=［3^k+（-1）^k-1·2^k］+（-1）^k·2^ka₀，那么n=k+1時，a_k+1=3^k-2a_k=3^k-2×［3^k+（-1）^k-1·2^k］-（-1）^k·2^k+1·a₀

=［3^k+1+（-1）^k2^k+1］+（-1）^k+1·2^k+1·a₀，即n=k+1時等式成立.

由（1）（2）可知，對任意n∈N^*原式成立.