設(shè)a0為常數(shù),且an=3n-1-2an-1(n∈N+).
(1)若數(shù)列{an+λ3n}是等比數(shù)列,求實數(shù)λ的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)假設(shè)對任意n≥1,有an≥an-1,求a0的取值范圍.
分析:(1)由題意知  an+λ3n=-2(an-1+λ3n-1),故 an=-2an-1-2•λ•3n-1-λ3n,待定系數(shù)法求出實數(shù)λ的值.
(2)根據(jù)數(shù)列{an-
1
5
3n}
 的首項為a0-
1
5
,公比為-2,可得通項公式.
(3)利用(2)的結(jié)果,得an≥an-1等價于(-1)n-1(5a0-1)<(
3
2
)n-2
…③,分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分別求出
 a0的值,取交集即得所求.
解答:解:(1)由題意知an+λ3n=-2(an-1+λ3n-1),an=-2an-1-2•λ•3n-1-λ3n,∴λ=-
1
5

(2)數(shù)列{an-
1
5
3n}
 的首項為a0-
1
5
,公比為-2.
an-
1
5
3n=(a0-
1
5
)(-2)n
,∴an=(-2)na0+
1
5
3n-
1
5
•(-2)n
,n=0,1,2,3,…
(3)利用(2)的結(jié)果,得an≥an-1等價于(-1)n-1(5a0-1)<(
3
2
)n-2
…③
對任意的奇數(shù)n>0,③式都成立的充要條件為5a0-1<(
3
2
)1-2=
2
3
,即a0
1
3
;
而對任意的偶數(shù)n>0,③式都成立的充要條件為1-5a0<(
3
2
)2-2=1
,即a0>0.
因此任意n≥1,都使an≥an-1成立的a0的取值范圍為 (0,
1
3
)
點評:本題考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì),等比關(guān)系的確定,數(shù)列與不等式的綜合,體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,
求出數(shù)列的通項公式,是解題的關(guān)鍵.
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設(shè)a0為常數(shù),且an=3n-1-2an-1(n∈N*).證明:n≥1時,an=
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[3n+(-1)n-1•2n]+(-1)n•2n•a0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)a0為常數(shù),且an=3n-1-2an-1(n∈N+).
(1)若數(shù)列{an+λ3n}是等比數(shù)列,求實數(shù)λ的值;
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(3)假設(shè)對任意n≥1,有an≥an-1,求a0的取值范圍.

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設(shè)a0為常數(shù),且an=3n-1-2an-1(n∈N*).證明:對任意n≥1,an=[3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2na0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

22.設(shè)a0為常數(shù),且an=3n1-2an1n∈N+).

 

(Ⅰ)證明對任意n≥1,an=[3n+(-1)n1·2n]+(-1)n·2na0;

 

(Ⅱ)假設(shè)對任意n≥1有an>an1,求a0的取值范圍.

 

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