【題目】已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)(點(diǎn)均在第一象限),軸,軸分別交于兩點(diǎn),且滿足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)).證明:直線的斜率為定值.

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)橢圓的離心率為,且過點(diǎn),結(jié)合性質(zhì) ,列出關(guān)于 、的方程組,求出 、,即可得橢圓的方程;(2)設(shè)直線的方程為點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,可得,由,消去,根據(jù)韋達(dá)定理可得,進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析:(1)由題意可得,解得,故橢圓的方程為;

(2)由題意可知直線的斜率存在且不為0,

故可設(shè)直線的方程為,點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,

化簡得,,即,

,消去

,且,

,

因此,即

,所以,又結(jié)合圖象可知,,所以直線的斜率為定值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點(diǎn)和圓,過的動直線與圓交于兩點(diǎn),過作直線,交點(diǎn).

(Ⅰ)求動點(diǎn)的軌跡的方程;

(Ⅱ)若不經(jīng)過的直線與軌跡交于兩點(diǎn),且.求證:直線 恒過定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且.

(1)求函數(shù),的解析式;

(2)設(shè)函數(shù),記 .探究是否存在正整數(shù),使得對任意的,不等式恒成立?若存在,求出所有滿足條件的正整數(shù)的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出下列四個命題:

①若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則;

②若),則的取值范圍是;

③若函數(shù),則對任意的,都有;

④若),在區(qū)間上單調(diào)遞減,則.

其中所有正確命題的序號是______________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】醫(yī)藥公司針對某種疾病開發(fā)了一種新型藥物,患者單次服用制定規(guī)格的該藥物后,其體內(nèi)的藥物濃度隨時間的變化情況(如圖所示):當(dāng)時,的函數(shù)關(guān)系式為為常數(shù));當(dāng)時,的函數(shù)關(guān)系式為為常數(shù)).服藥后,患者體內(nèi)的藥物濃度為,這種藥物在患者體內(nèi)的藥物濃度不低于最低有效濃度,才有療效;而超過最低中毒濃度,患者就會有危險.

(1)首次服藥后,藥物有療效的時間是多長?

(2)首次服藥1小時后,可否立即再次服用同種規(guī)格的這種藥物?

(參考數(shù)據(jù):,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知曲線,則下列結(jié)論正確的是 ( )

A. 向左平移個單位長度,得到的曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱

B. 向右平移個單位長度,得到的曲線關(guān)于軸對稱

C. 向左平移個單位長度,得到的曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱

D. 向右平移個單位長度,得到的曲線關(guān)于軸對稱

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,E、F、G分別是PA、PB、BC的中點(diǎn)

(1)證明:平面EFG∥平面PCD;

(2)若平面EFG截四棱錐P-ABCD所得截面的面積為,求四棱錐P-ABCD的體積

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某農(nóng)業(yè)合作社生產(chǎn)了一種綠色蔬菜共噸,如果在市場上直接銷售,每噸可獲利萬元;如果進(jìn)行精加工后銷售,每噸可獲利萬元,但需另外支付一定的加工費(fèi),總的加工(萬元)與精加工的蔬菜量(噸)有如下關(guān)系:設(shè)該農(nóng)業(yè)合作社將(噸)蔬菜進(jìn)行精加工后銷售,其余在市場上直接銷售,所得總利潤(扣除加工費(fèi))為(萬元).

(1)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式;

(2)當(dāng)精加工蔬菜多少噸時,總利潤最大,并求出最大利潤.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) ,其中.

(Ⅰ)討論的單調(diào)性;

(Ⅱ)若存在使得,求實數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)若當(dāng)時恒有,求實數(shù)的取值范圍.

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