設(shè)二次函數(shù)的圖像過(guò)原點(diǎn),,的導(dǎo)函數(shù)為,且,
(1)求函數(shù),的解析式;
(2)求的極小值;
(3)是否存在實(shí)常數(shù)和,使得和若存在,求出和的值;若不存在,說(shuō)明理由.
(1),;(2)的極小值為;(3)存在這樣的實(shí)常數(shù)和,且
解析試題分析:(1)由二次函數(shù)的圖像過(guò)原點(diǎn)可求,從而,由可解得,從而得;由可解得從而得;(2)由題可知,通過(guò)導(dǎo)函數(shù)可得的單調(diào)性,從而可得的極小值為;(3)根據(jù)題意可知,只須證明和的函數(shù)圖像在切線(xiàn)的兩側(cè)即可,故求出函數(shù)在公共點(diǎn)(1,1)的切線(xiàn)方程,只須驗(yàn)證:,從而找到實(shí)數(shù)存在這樣的實(shí)常數(shù)和,且.
試題解析:(1)由已知得,
則,從而,∴
,。
由 得,解得
。 4分
(2),
求導(dǎo)數(shù)得. 8分
在(0,1)單調(diào)遞減,在(1,+)單調(diào)遞增,從而的極小值為.
(3)因 與有一個(gè)公共點(diǎn)(1,1),而函數(shù)在點(diǎn)(1,1)的切線(xiàn)方程為.
下面驗(yàn)證都成立即可.
由 ,得,知恒成立.
設(shè),即 ,
求導(dǎo)數(shù)得,
在(0,1)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以 的最大值為,所以恒成立.
故存在這樣的實(shí)常數(shù)和,且. 13分
考點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性和最值;2.利用導(dǎo)數(shù)處理不等式恒成立問(wèn)題;2.利用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)不等式
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),,其中且.
(Ⅰ)當(dāng),求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若時(shí),函數(shù)有極值,求函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo);
(Ⅲ)設(shè)函數(shù) (是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),是否存在a使在上為減函數(shù),若存在,求實(shí)數(shù)a的范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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已知函數(shù)(其中為常數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)的3個(gè)極值點(diǎn)為,且.證明:.
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設(shè)函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若存在,使得成立,求滿(mǎn)足上述條件的最大整數(shù);
(3)如果對(duì)任意的,都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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已知函數(shù).
(1)試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若 直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于不同兩點(diǎn),若 試證明.
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設(shè)的導(dǎo)數(shù)為,若函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),且函數(shù)在處取得極值.
(I)求實(shí)數(shù)的值;
(II)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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已知函數(shù),.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn),若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率恒大于,
求的取值范圍.
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設(shè),函數(shù).
(1)若,求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最小值.
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設(shè),.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出的表達(dá)式(不需證明);
(2)求的極小值;
(3)設(shè)的最大值為,的最小值為,求的最小值.
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