Question

已知函數(shù)（其中為常數(shù)）.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的3個(gè)極值點(diǎn)為，且.證明：.

Answer 1

(Ⅰ)單調(diào)減區(qū)間為,；增區(qū)間為.(Ⅱ)詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：(Ⅰ)將代入，然后求導(dǎo)便可得其單調(diào)區(qū)間.
(Ⅱ)我們分以下幾步來(lái)分析.
第一步、對(duì)求導(dǎo)得：.顯然是它的一個(gè)極值點(diǎn)，下面我們要弄清楚應(yīng)該是還是.另兩個(gè)極值點(diǎn)便是方程的根.對(duì)這個(gè)方程，我們不可能直接解，所以接下來(lái)就利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù).
第二步、對(duì)求導(dǎo)得：
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，.又，
所以在上必有一個(gè)極值點(diǎn).
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3b/1/1ptjm3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，
∴的兩個(gè)零點(diǎn)必有一個(gè)小于（實(shí)際上比還�。�，而另一個(gè)大于1，
∴.
∴當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且.
即有.這樣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在該條件下證明.那么這個(gè)不等式如何證呢？
第三步、注意到待證不等式中不含，故考慮消去，找到之間的關(guān)系式.
消去有.
令，有零點(diǎn).
∴函數(shù)在上遞減，在上遞增，在處取得極小值.由于，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/50/5/zpqnk.png" style="vertical-align:middle;" />.

所以要證明，只需證.那么這個(gè)不等式又如何證明呢？
因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以轉(zhuǎn)化為證.
 即證.
這個(gè)不等式，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)就很容易證明了.
試題解析：(Ⅰ)求導(dǎo)得：.
令可得.列表如下:

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