【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2mx+3m+4,
(1)若f(x)在(﹣∞,1]上單調(diào)遞減,求m的取值范圍;
(2)求f(x)在[0,2]上的最大值g(m).

【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)=x2+2mx+3m+4,

∴f(x)的對(duì)稱軸是x=﹣m,

又∵f(x)在(﹣∞,1]上單調(diào)遞減,

∴﹣m≥1,解得m≤﹣1,

∴m的取值范圍是(﹣∞,﹣1]


(2)解:f(x)的對(duì)稱軸為x=﹣m

當(dāng)﹣m≥1,即m≤﹣1時(shí),

f(x)在[0,2]上的最大值g(m)=f(0)=3m+4,

當(dāng)﹣m<1,即m>﹣1時(shí),

f(x)在[0,2]上的最大值g(m)=f(2)=7m+8,


【解析】(1)由f(x)的對(duì)稱軸是x=﹣m,f(x)在(﹣∞,1]上單調(diào)遞減,得﹣m≥1,由此能求出m的取值范圍.(2)由f(x)的對(duì)稱軸為x=﹣m,根據(jù)m≤﹣1和m>﹣1兩種情況分類討論能求出f(x)在[0,2]上的最大值g(m).
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

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