Question

【題目】已知函數，（ ， ）.

（1）若， ，求函數的單調減區(qū)間；

（2）若時，不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當， 時，記函數的導函數的兩個零點是和（），求證： .

Answer 1

【答案】(1) (2) ;(3)見解析.

【解析】試題分析：（1）代入， 時，得到，求得，即可求解函數的單調區(qū)間；

（2）把不等式在上恒成立，轉化為在區(qū)間上恒成立，令，利用導數求得函數的最小值，即可求解實數的取值范圍.

（3）方法一：求得，得， 是方程的兩個根，即，

化簡，令，利用導數求得的最小值，即可證明結論；

試題解析：

（1）由題意： ， ， 時，

所以

令，得，因為，所以或

所以的單調減區(qū)間為.

（2）時， ，

不等式在上恒成立即為： 在區(qū)間上恒成立

令，則，令得： ，

因為時， ， 時， ，

所以在上單調遞減，在上單調遞增

所以，所以.

（3）方法一：因為，所以，從而（）

由題意知， ， 是方程的兩個根，故.

記，則，因為，所以

，所以， ，且（， ）.

因為，所以， .

令， .

因為，所以在單調遞增，

所以，即.

方法二：因為，所以，從而（）.

由題意知， ， 是方程的兩個根.記，則，

因為，所以， ，

所以， ，且在上為減函數.

所以.

因為，故.