【題目】已知焦距為2的橢圓的右頂點為,直線與橢圓交于、兩點(的左邊),軸上的射影為,且四邊形是平行四邊形.

1)求橢圓的方程;

2)斜率為的直線與橢圓交于兩個不同的點,

i)若直線過原點且與坐標軸不重合,是直線上一點,且是以為直角頂點的等腰直角三角形,求的值;

ii)若是橢圓的左頂點,是直線上一點,且,點軸上異于點的點,且以為直徑的圓恒過直線的交點,求證:點是定點.

【答案】1 2)(i; ii)證明見解析

【解析】

1)求出兩點坐標,四邊形是平行四邊形,即得,結合可解得;

2(i) 設直線方程為,求出坐標,設,由等腰直角三角形,有,到直線的距離為,根據(jù)關系式可求得;

(ii)設直線方程為,求出點坐標,又求得點坐標,以為直徑的圓恒過直線的交點,則,設,由斜率乘積為-1可得

解:(1)由題意可得,即

直線代入橢圓方程可得,

解得,

可得,

由四邊形是平行四邊形,

可得,

解得,

可得橢圓的方程為

2)(i)由題意,直線方程為,代入橢圓方程,可得,

解得,

可設,

是以為直角頂點的等腰直角三角形,

可設,到直線的距離為,

即有,

即為,,

,代入第二式,化簡整理可得

解得;

ii)證明:由,可得直線的方程是,

代入橢圓方程可得,,

可得,

解得,

,

,,由題意可得,,

為直徑的圓恒過直線的交點,

可得,

即有,

即為,

解得

故點是定點,即為原點

練習冊系列答案
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