Question

18．如圖，已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)為1，M是底面BC邊上的中點(diǎn)，

N是側(cè)棱CC₁上的點(diǎn)，且CN=2C₁N.

（Ⅰ）求二面角B₁—AM—N的平面角的余弦值；

（Ⅱ）求點(diǎn)B₁到平面AMN的距離。

Answer 1

本小題主要考查線面關(guān)系、二面角和點(diǎn)到平面距離的有關(guān)知識(shí)及空間想象能力和推理運(yùn)算能力.考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力.

解法1：（Ⅰ）因?yàn)镸是底面BC邊上的中點(diǎn)，所以AM⊥BC，又AM⊥CC₁，所以AM⊥面BCC₁B₁.從而AM⊥B₁M，AM⊥NM，所以∠B₁MN為二面角B₁—AM—N的平面角.

又B₁M=，

MN=，

連B₁N，得B₁N=.

在△B₁MN中，由余弦定理得

cosB₁MN=

=

=.

故所求二面角B₁—AM—N的平面角的余弦值為.

（Ⅱ）過B₁在面BCC₁B₁內(nèi)作直線B₁H⊥MN，H為垂足.

又AM⊥面BCC₁B₁，所以AM⊥B₁H.

于是B₁H⊥平面AMN，故B₁H即為B₁到平面AMN的距離.

在RT△B₁HM中，B₁H=B₁MsinB₁MH==1.

故點(diǎn)B₁到平面AMN的距離為1.

解法2：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B₁（0，0，1）M（0，，0），C（0，1，0），N（0，1，），A（－，，0）.所以，=（，0，0），=（0，－，1），=（0，，）.

因?yàn)?SUB>·=×0+0×（-）+0×1=0所以⊥.同法可得⊥.

故<，>為二面角B₁—AM—N的平面角.

∴cos＜，＞=.

故所求二面角B₁—AM—N的平面角的余弦值為.

（Ⅱ）設(shè)n=（x，y，z）為平面AMN的一個(gè)法向量，則由n⊥，n⊥得

故可取n=（0，－，1）

設(shè)與n的夾角為α，則cosα=.

所以B₁到平面AMN的距離為||·|cosα|==1.