Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AC的中點(diǎn)，∠C1DC=600，則異面直線AB₁與C₁D所成角的余弦值為（　�。�

• A．

  7

  7

• B．

  2 7

  7

• C．

  3 7

  7

• D．

  10

  4

Answer 1

分析：連接B₁C，取B₁C中點(diǎn)E，連接C₁E、DE．設(shè)AD=DC=1，則Rt△C₁DC中利用60°角的三角函數(shù)，可算出CC₁=

3

，C₁D=2，再用勾股定理算出AB₁=B₁C=

7

，從而得出在△C₁DE中，DE=C₁E=

7

2

，由余弦定理得cos∠C₁DE=

2 7

7

，最后由異面直線所成角的定義得到異面直線AB₁與C₁D所成角的余弦值．

解答：解：連接B₁C，取B₁C中點(diǎn)E，連接C₁E、DE
設(shè)AD=DC=1，則Rt△C₁DC中，tan∠C1DC=

CC1

CD

=

3

∴CC₁=

3

CD=

3

，C₁D=2
矩形BCC₁B₁中，B1C=

BC2+CC22

=

7

，可得C₁E=

7

2

又∵△AB₁C中，AB₁=B₁C=

7

，DE是中位線
∴DE=

1

2

AB₁=

7

2

因此，在△C₁DE中，由余弦定理得：cos∠C₁DE=

DE2+C1D2-C1E2

2DE•C1D

=

2 7

7

∵DE∥AB₁，
∴銳角∠C₁DE就是直線AB₁與C₁D所成的角，可得異面直線AB₁與C₁D與所成角的余弦值為

2 7

7

故選B

點(diǎn)評(píng)：本題在正三棱柱中求異面直線所成的角，著重考查了正棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的定義和余弦定理等知識(shí)，屬于中檔題．