Question

（2011•重慶三模）如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長均為a，截面AB₁C和A₁BC₁相交于DE，則三棱錐B-B₁DE的體積為

3

48

a³

．

Answer 1

分析：由題意求出三角形B₁DE與三角形AB₁C的面積比，求出三棱錐B₁-BAC的體積，即可求三棱錐B-B₁DE的體積．

解答：解：因為幾何體是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長均為a，截面AB₁C和A₁BC₁相交于DE，
所以D、E分別是AB₁，CB₁的中點，
所以S_△B1DE：S_△B1AC=1：4，B到平面B₁AC距離相同，
三棱錐B₁-BAC的體積為V，即可求三棱錐B-B₁DE的體積為V₁，

V1

V

=

1

4

，
V=

1

3

S△ABC•h=

1

3

×

3

4

×a2×a=

3

12

a3．
則三棱錐B-B₁DE的體積為

1

4

×

3

12

a3=

3

48

a3．
故答案為：

3

48

a3．

點評：本題是中檔題，考查幾何體的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，注意面積比與相似比的應(yīng)用，體積的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．