Question

設(shè)f(x)=x3+log2(x+

x2+1

)，則對任意實(shí)數(shù)a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（　　）

• A、充分必要條件
• B、充分而非必要條件
• C、必要而非充分條件
• D、既非充分也非必要條件

Answer 1

分析：由f（-x）=-x³+log₂（-x+

x2+1

）=-x³+log₂

1

x+ x2+1

=-x³-log₂（x+

x2+1

）=-f（x），知f（x）是奇函數(shù)．所以f（x）在R上是增函數(shù)，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0則f（a）≥-f（b）=f（-b）由函數(shù)是增函數(shù)知a+b≥0成立a+b＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要條件．

解答：解：f（x）=x³+log2（x+

x2+1

），f（x）的定義域?yàn)镽
∵f（-x）=-x³+log₂（-x+

x2+1

）=-x³+log₂

1

x+ x2+1

=-x³-log₂（x+

x2+1

）=-f（x）．
∴f（x）是奇函數(shù)
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
∴f（x）在R上是增函數(shù)
a+b≥0可得a≥-b
∴f（a）≥f（-b）=-f（b）
∴f（a）+f（b）≥0成立
若f（a）+f（b）≥0則f（a）≥-f（b）=f（-b）由函數(shù)是增函數(shù)知
a≥-b
∴a+b≥0成立
∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要條件．

點(diǎn)評：本題考查充要條件的判斷，解題時要注意單調(diào)性的合理運(yùn)用．