Question

(理)設直線l:y=k(x+1)與橢圓x²+3y²=a²(a＞0)相交于A、B兩個不同的點,與x軸相交于點C,記O為坐標原點.

(1)證明a²＞;

(2)若AC=2CB,求△OAB的面積取得最大值時的橢圓方程.

(文)設a∈R,函數(shù)f(x)=x³-x²-x+a.

(1)求f(x)的單調區(qū)間;

(2)當x∈［0,2］時,若|f(x)|≤2恒成立,求a的取值范圍.

Answer 1

答案：(理)(1)證明:依題意,直線l顯然不平行于坐標軸,故y=k(x+1)可化為x=y-1.

將x=y-1代入x²+3y²=a²,消去x,得(+3)y²-y+1-a²=0.① 

由直線l與橢圓相交于兩個不同的點,得Δ=-4(+3)(1-a²)＞0,整理,得(+3)a²＞3,

即a²＞.

(2)解:設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由①,得y₁+y₂=.因為,得y₁=-2y₂,代入上式,得y₂=.

于是,△OAB的面積S=|OC|·|y₁-y₂|=|y₂|=.

其中,上式取等號的條件是3k²=1,即k=±.

由y₂=,可得y₂=.將k=,y₂=-及k=-,y₂=這兩組值分別代入①,

均可解出a²=5.所以△OAB的面積取得最大值時的橢圓方程是x²+3y²=5.

(文)(1)解:對函數(shù)f(x)求導數(shù),得f′(x)=3x²-2x-1.

令f′(x)＞0,解得x＞1,或x＜-;

令f′(x)＜0,解得-＜x＜1.

所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,-)和(1,+∞);f(x)的單調遞減區(qū)間為(-,1).

(2)解:由(1)知,f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,2)上單調遞增,所以f(x)在[0,2]上的最小值為f(1)=-1+a;

由f(0)=a,f(2)=2+a,知f(0)＜f(2),所以f(x)在[0,2]上的最大值為f(2)=2+a.

因為,當x∈[0,2]時,|f(x)|≤2-2≤f(x)≤2解得-1≤a≤0,即a的取值范圍是[-1,0].