Question

P₁是橢圓+y²=1(a＞0且a≠1)上不與頂點(diǎn)重合的任一點(diǎn),P₁P₂是垂直于x軸的弦,A₁(-a,0)、A₂(a,0)是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),直線A₁P₁與直線A₂P₂的交點(diǎn)為P.

(1)求點(diǎn)P的軌跡曲線C的方程;

(2)設(shè)曲線C與直線l:x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B,求曲線C的離心率e的取值范圍;

(3)設(shè)曲線C與直線l:x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且=-3,求a的值.

(文)設(shè)函數(shù)f(x)=x³+2ax²-3a²x+a(0＜a＜1).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若當(dāng)x∈［a,2］時(shí),恒有f(x)≤0,試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

答案：

解：(1)設(shè)P₁(m,n)(mn≠0),則P₂(m,-n),直線A₁P₁:y=(x+a);①直線A₂P₂:y=(x-a);②

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),由①②,得m=,

∵點(diǎn)P₁(m,n)在橢圓+y²=1上,∴有m²+a²n²=a²,即()²+a²()²=a²,整理,得-y²=1(y≠0),∴直線A₁P₁與直線A₂P₂交點(diǎn)P的軌跡方程是雙曲線-y²=1(y≠0).

(2)由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),知方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理,得(1-a²)x²+2a²x-2a²=0.又∵a＞0且a≠1,∴4a⁴+8a²(1-a²)＞0.∴0＜a²＜2且a²≠1.

雙曲線的離心率e=.

∴或e＞,即e∈()∪(,+∞).

(3)設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則-3==x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(1-x₁)(1-x₂)=2x₁x₂-(x₁+x₂)+1

=+1,即=-4,由a＞0,得a=.

(文)解：(1)∵f(x)=-x³+2ax²-3a²x+a(0＜a＜1),

∴f′(x)=-x²+4ax-3a²=-(x-a)(x-3a).

∵0＜a＜1,∴f′(x)＞0a＜x＜3a,f′(x)＜0x＜a或x＞3a.

∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為［a,3a］;遞減區(qū)間為(-∞,a］,［3a,+∞).

(2)∵x∈［a,2］,①當(dāng)2≤3a,即≤a＜1時(shí),f(x)在區(qū)間［a,2］內(nèi)是增函數(shù).

∴f(x)_max=f(2)=a-6a².又當(dāng)x∈［a,2］時(shí),恒有f(x)≤0,

∴

②當(dāng)2＞3a即0＜a＜時(shí),則f(x)在［a,3a］上單調(diào)遞增;在［3a,2］上單調(diào)遞減.

∴f(x)_max=f(3a)=a.又當(dāng)x∈［a,2］時(shí),恒有f(x)≤0,∴(無解).

綜上所述,a的取值范圍是≤a＜1.