【題目】如圖，在平面四邊形中，等邊三角形，，以為折痕將折起，使得平面平面．

（1）設(shè)為的中點(diǎn)，求證：平面；

（2）若與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值．

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）推導(dǎo)出平面，從而，再求出，由此能證明平面．

（2）由平面，知即為與平面所成角，從而在直角中，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在的方向作為軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出二面角的余弦值．

證明：（1）因?yàn)槠矫?/span>平面，

平面平面，平面，，

所以平面．

又平面，所以．

在等邊中，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以．

因?yàn)?/span>，，，

所以平面．

（2）解：由（1）知平面，所以即為與平面所成角，

于是在直角中，．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在的方向作為軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為，

則，，，，，

，，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，

令，則，，于是.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，

解得，令，則，于是．

所以.

由題意知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為H，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且，當(dāng)k最大時(shí)，點(diǎn)P恰好在以H，F為焦點(diǎn)的雙曲線上，則k的最大值為_____，此時(shí)該雙曲線的離心率為_____．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）若，求在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

（2）若在上的最大值為，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，，底面，點(diǎn)分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓（）的左右焦點(diǎn)分別為，橢圓的上頂點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M是對(duì)角線上的點(diǎn)（點(diǎn)M與A、不重合），則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）

①存在點(diǎn)M，使得平面平面；

②存在點(diǎn)M，使得平面；

③若的面積為S，則；

④若、分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點(diǎn)M，使得.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，是由兩個(gè)全等的菱形和組成的空間圖形，，∠BAF＝∠ECD＝60°.

（1）求證：；

（2）如果二面角B－EF－D的平面角為60°，求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，梯形中，，過分別作，，垂足分別，，已知，將梯形沿同側(cè)折起，得空間幾何體 ，如圖．

1若，證明：平面；

2若，，線段上存在一點(diǎn)，滿足與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】邊長(zhǎng)為2的等邊和有一內(nèi)角為的直角所在半平面構(gòu)成的二面角，則下列不可能是線段的取值的是（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案