【題目】設(shè)橢圓（）的左右焦點分別為，橢圓的上頂點為點，點為橢圓上一點，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若，過點的直線交橢圓于兩點，求線段的中點的軌跡方程.

【答案】（1）（2）

【解析】

利用向量的坐標(biāo)表示及運算表示出點坐標(biāo),代入橢圓的方程即可求解;

由知,結(jié)合求出橢圓的方程，分兩種情況線段在軸上和線段不在軸上求解點，當(dāng)線段不在軸上, 設(shè)直線的方程為，，，代入橢圓方程，利用韋達定理和中點坐標(biāo)公式,消去參數(shù)即可.

（1） 設(shè)（），，，

所以，得

，即，

又∵（）在橢圓上，

∴，得，即橢圓的離心率為.

（2） 由（1）知，.又∵，，

解得，，∴橢圓的方程為.

當(dāng)線段在軸上時，線段的中點為坐標(biāo)原點（0，0）.

當(dāng)線段不在軸上時，設(shè)直線的方程為，，，

將直線的方程為代入橢圓方程中，得.

∵點在橢圓內(nèi)部，∴，，則，

∴點的坐標(biāo)滿足，，消去得，（）.

綜上所述，點的軌跡方程為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】生男生女都一樣，女兒也是傳后人.由于某些地區(qū)仍然存在封建傳統(tǒng)思想，頭胎的男女情況可能會影響生二孩的意愿，現(xiàn)隨機抽取某地200戶家庭進行調(diào)查統(tǒng)計.這200戶家庭中，頭胎為女孩的頻率為0.5，生二孩的頻率為0.525，其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數(shù)為60.

（1）完成下列列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認為是否生二孩與頭胎的男女情況有關(guān)；

生二孩

不生二孩

合計

頭胎為女孩

60

頭胎為男孩

合計

200

（2）在抽取的200戶家庭的樣本中，按照分層抽樣的方法在生二孩的家庭中抽取了7戶，進一步了解情況，在抽取的7戶中再隨機抽取4戶，求抽到的頭胎是女孩的家庭戶數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：

0.15

0.05

0.01

0.001

2.072

3.841

6.635

10.828

（其中）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心為原點，焦點為，離心率為，不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于，兩點.

（1）若為線段的中點，求直線的方程.

（2）若點是直線上一點，點在橢圓上，且滿足，設(shè)直線與直線的斜率分別為，，問是否為定值？若是，請求出的值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在正方體中，點，分別為棱，的中點，點為上底面的中心，過，，三點的平面把正方體分為兩部分，其中含的部分為，不含的部分為，連結(jié)和的任一點，設(shè)與平面所成角為，則的最大值為

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟合作關(guān)系，共同打造政治互信、經(jīng)濟融合、文化包容的命運共同體.自2013年以來，“一帶一路”建設(shè)成果顯著.下圖是2013-2017年，我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統(tǒng)計圖.下列描述錯誤的是（ ）

A.這五年，2013年出口額最少

B.這五年，出口總額比進口總額多

C.這五年，出口增速前四年逐年下降

D.這五年，2017年進口增速最快

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面四邊形中，等邊三角形，，以為折痕將折起，使得平面平面．

（1）設(shè)為的中點，求證：平面；

（2）若與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）設(shè)是曲線上的一個動點，當(dāng)時，求點到直線的距離的最大值；

（2）若曲線上所有的點均在直線的右下方，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若直線在點處切線方程為，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）若函數(shù)有3個零點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，實數(shù).

（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）若存在，使得關(guān)于x的不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍.

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