Question

【題目】已知A、B是函數(shù)y=f（x），x∈[a，b]圖象的兩個端點(diǎn)，M（x，y）是f（x）上任意一點(diǎn)，過M（x，y）作MN⊥x軸交直線AB于N，若不等式|MN|≤k恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上“k階線性近似”．
（1）若f（x）=x+ ，x∈[ ，2]，證明：f（x）在[ ，2]上“ 階線性近似”；
（2）若f（x）=x2在[﹣1，2]上“k階線性近似”，求實(shí)數(shù)k的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：若f（x）=x+ ，x∈[ ，2]，則A（ ， ）、B（2， ），

故直線AB的方程為：y= ，

則由|MN|= ﹣（x+ ），

∴|MN|∈[0， ]，

故|MN|≤ ，

故f（x）在[ ，2]上“ 階線性近似”

（2）解：由MN⊥x交直線AB于N，得 N 和M的橫坐標(biāo)相同．

對于區(qū)間[﹣1，2]上的函數(shù)f（x）=x2 ，A（﹣1，1）、B（2，4），

則直線AB的方程為：y=x+2，

則有|MN|=x+2﹣x2=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴|MN|∈[0， ]．

再由|MN|≤k恒成立，可得 k≥ ．

故實(shí)數(shù)k的最小值為 ．

【解析】（1）根據(jù)對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到f（x）=x+ ，x∈[ ，2]，滿足|MN|≤ ，進(jìn)而得到答案．（2）由已知可得 N和M的橫坐標(biāo)相同，根據(jù)|MN|=x+2﹣x2=﹣（x﹣ ）2+ 及x∈[﹣1，2]，求出|MN|的范圍，再由|MN|≤k恒成立，求得k的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的圖象(函數(shù)的圖像是由直角坐標(biāo)系中的一系列點(diǎn)組成；圖像上每一點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）代表了函數(shù)的一對對應(yīng)值，他的橫坐標(biāo)x表示自變量的某個值，縱坐標(biāo)y表示與它對應(yīng)的函數(shù)值)．