【題目】已知函數(shù)

(I)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間和極值;

(II)若對(duì)于任意,都有成立,求k的取值范圍;

(Ⅲ),且,證明:

【答案】(I)極小值為,無極大值;(II);(3)見解析.

【解析】試題分析:(1)由題意x>0,由此根據(jù)k≤0,k>0利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)分類討論,能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.
(2)問題轉(zhuǎn)化為,對(duì)于x[e,e2]恒成立,令,則,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(3)設(shè),則,要證,只要證,即證,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明.

試題解析:

(1)

時(shí),因?yàn)?/span>,所以,

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,無單調(diào)遞減區(qū)間,無極值;

②當(dāng)時(shí),令,解得,

當(dāng)時(shí),;當(dāng),

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是,

在區(qū)間上的極小值為,無極大值.

(2)由題意,,

即問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立,

對(duì)于恒成立,

,則

,則,

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,故,故,

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)

要使對(duì)于恒成立,只要,

所以,即實(shí)數(shù)k的取值范圍為

(3)證法1 因?yàn)?/span>,由(1)知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,且

不妨設(shè),則,

要證,只要證,即證

因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以

,即證,

構(gòu)造函數(shù),

,

,

因?yàn)?/span>,所以,即,

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故,

,故,

所以,即,所以成立.

證法2 要證成立,只要證:.

因?yàn)?/span>,且,所以

,,

,

,同理,

從而

要證,只要證,

令不妨設(shè),則,

即證,即證,

即證對(duì)恒成立,

設(shè),

所以單調(diào)遞增,,得證,所以.

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