Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax，g（x）=ax-lnx，其中 a＜0．
（1）若函數(shù)f（x）是（l，ln 5）上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若存在區(qū)間M，使f（x）和g（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（l，ln 5）上恒大于等于0或恒小于等于0，利用分離參數(shù)法求得a的取值范圍；
（2）求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，求導(dǎo)可知，a＜0時(shí)g（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)，再由f（x）的減區(qū)間非空求得a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+a，
∵函數(shù)f（x）是（l，ln 5）上的單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）=e^x+a在（l，ln 5）上恒大于等于0或恒小于等于0．
由f′（x）=e^x+a≥0，得a≥-e^x，
∵當(dāng)x∈（l，ln 5）時(shí)，-e^x∈（-5，-e），
∴a∈[-e，0）；
由f′（x）=e^x+a≤0，得a≤-e^x，
∵當(dāng)x∈（l，ln 5）時(shí)，-e^x∈（-5，-e），
∴a∈（-∞，-5]．
綜上，a的取值范圍是（-∞，-5]∪[-e，0）；
（2）f′（x）=e^x+a，令f′（x）=e^x+a=0，得x=ln-a，
當(dāng)x∈（-∞，ln（-a））時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（ln（-a），+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
∴f（x）的減區(qū)間為（-∞，ln（-a）），增區(qū)間為（ln（-a），+∞）；
g′（x）=a-$\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$（x＞0），
∵a＜0，∴g′（x）＜0，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
若存在區(qū)間M，使f（x）和g（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性，
則ln（-a）＞0，即-a＞1，得a＜-1．
∴a的取值范圍是（-∞，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，是中檔題．