Question

【題目】已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，離心率為 ，右焦點(diǎn)到直線x+y+ =0的距離為2．
（1）求橢圓E的方程；
（2）橢圓下頂點(diǎn)為A，直線y=kx+m（k≠0）與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M、N，當(dāng)|AM|=|AN|時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為（c，0），依題意有 =2

又c＞0，得c=

又e= = = ，∴a=

∴b= =1

∴橢圓E的方程為 =1

（2）解：橢圓下頂點(diǎn)為A（0，﹣1），

設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P（xp，yp），xM、xN分別為點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)，

由直線與橢圓方程消去y，得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，

由于直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以

∴△＞0，即m2＜3k2+1 ①

xp=﹣ ，從而yp=kxp+m= ，kAP= =﹣

又|AM|=|AN|∴AM⊥AN，則﹣ =﹣ ，即2m=3k2+1 ②，

將②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得k2= ＞0，解得m＞ ，

故所求的m取值范圍是（ ，2）

【解析】（1）利用右焦點(diǎn)到直線x+y+ =0的距離為2，建立方程求出c，利用離心率為 ，求出a，可得b，即可求橢圓E的方程；（2）設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P（xp ， yp），xM、xN分別為點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得到△＞0，可得m2＜3k2+1，通過|AM|=|AN|，判斷AM⊥AN，得到2m=3k2+1，然后求得m的取值范圍．