【題目】設(shè),若無窮數(shù)列滿足:對所有整數(shù),都成立,則稱-折疊數(shù)列”.

1)求所有的實(shí)數(shù),使得通項(xiàng)公式為的數(shù)列-折疊數(shù)列;

2)給定常數(shù),是否存在數(shù)列,使得對所有,都是-折疊數(shù)列,且的各項(xiàng)中恰有個不同的值?證明你的結(jié)論;

3)設(shè)遞增數(shù)列滿足.已知如果對所有,都是-折疊數(shù)列,則的各項(xiàng)中至多只有個不同的值,證明:.

【答案】1;(2)存在,證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】

1)根據(jù)題中所給定義,列方程討論的取值可得出結(jié)果;

2)只需列舉出例子即可證明,結(jié)合定義,數(shù)列的圖象有無數(shù)條對稱軸,可聯(lián)想三角函數(shù);

3)結(jié)合(2)的結(jié)論利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明.

1)要使通項(xiàng)公式為的數(shù)列是“-折疊數(shù)列”,只需.

①當(dāng)時,,顯然成立;

②當(dāng)時,上式可化為,則,,.

綜上所述,

2)對于給定的,都是“-折疊數(shù)列”,故數(shù)列的圖象有多條對稱軸,其中都是數(shù)列的圖象的對稱軸,

設(shè),由,得對稱軸為,且數(shù)列的周期為,

滿足給定常數(shù),使得對所有的,都是“-折疊數(shù)列”,

是周期數(shù)列,且周期為,在這個周期內(nèi),為對稱軸,

對應(yīng)的項(xiàng)的個數(shù)與對應(yīng)的項(xiàng)的個數(shù)相等,

,,上單調(diào)遞增,,

各項(xiàng)中共有個不同的取值.

綜上所述,給定常數(shù),存在數(shù)列,使得對所有,都是“-折疊數(shù)列”,且的各項(xiàng)中恰有個不同的取值;

3)由(2)知,,即.

故要證原不等式成立,只需證,只需證.

①當(dāng)時,不等式顯然成立;

②假設(shè)當(dāng)時,有成立,

則當(dāng)時,,

故當(dāng)時,不等式成立.

綜上所述,.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如果存在常數(shù),使得數(shù)列滿足:若是數(shù)列中的一項(xiàng),則也是數(shù)列 中的一項(xiàng),稱數(shù)列為“兌換數(shù)列”,常數(shù)是它的“兌換系數(shù)”.

1)若數(shù)列:是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”,求的值;

2)已知有窮等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是,所有項(xiàng)之和是,求證:數(shù)列“兌換數(shù)列”,并用表示它的“兌換系數(shù)”;

3)對于一個不小于3項(xiàng),且各項(xiàng)皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列,是否有可能它既是等比數(shù)列,又是“兌換數(shù)列”?給出你的結(jié)論,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)若的值域?yàn)?/span>,求的值;

(Ⅱ)巳,是否存在這祥的實(shí)數(shù),使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點(diǎn).若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)fx)=2xgx)=x2ax(其中aR.對于不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,設(shè)mn,現(xiàn)有如下命題:

對于任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有m0;

對于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有n0

對于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得mn;

對于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1x2,使得m=-n.

其中真命題有___________________(寫出所有真命題的序號).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)當(dāng)時,求函數(shù)處的切線方程;

2)是否存在非負(fù)整數(shù),使得函數(shù)是單調(diào)函數(shù),若存在,求出的值;若不存在,請說明理由;

3)已知,若存在,使得當(dāng)時,的最小值是,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(注:自然對數(shù)的底數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,在平面直角坐標(biāo)系中,直線經(jīng)過點(diǎn),且傾斜角為.

(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程以及點(diǎn)的直角坐標(biāo);

(2)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù).

(1)當(dāng)時,求函數(shù)的定義域;

(2)若判斷的奇偶性;

(3)是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)[2,3]遞增,并且最大值為1,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列滿足:,,且、成等差數(shù)列,其中.

1)求實(shí)數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式;

2)若數(shù)列滿足等式:),求數(shù)列的前項(xiàng)和;

3)在(2)的條件下,問:是否存在這樣的正數(shù),可以確保恰有5個自然數(shù)使得不等式成立?若存在,求的取值范圍,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),函數(shù)gx)=-2x+3.

(1)當(dāng)a=2時,求fx)的極值;

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(3)若-2≤a≤-1,對任意x1,x2∈[1,2],不等式|fx1)-fx2)|≤t|gx1)-gx2)|恒成立,求實(shí)數(shù)t的最小值.

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