Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，設(shè)m＝，n＝，現(xiàn)有如下命題：

①對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有m＞0；

②對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有n＞0；

③對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得m＝n；

④對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得m＝－n.

其中真命題有___________________（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）.

Answer 1

【答案】①④

【解析】對(duì)于①，因?yàn)?/span>f '（x）＝2xln2＞0恒成立，故①正確

對(duì)于②，取a＝－8，即g'（x）＝2x－8，當(dāng)x1，x2＜4時(shí)n＜0，②錯(cuò)誤

對(duì)于③，令f '（x）＝g'（x），即2xln2＝2x＋a

記h（x）＝2xln2－2x，則h'（x）＝2x（ln2）2－2

存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，可知函數(shù)h（x）先減后增，有最小值.

因此，對(duì)任意的a，m＝n不一定成立.③錯(cuò)誤

對(duì)于④，由f '（x）＝－g'（x），即2xln2＝－2x－a

令h（x）＝2xln2＋2x，則h'（x）＝2x（ln2）2＋2＞0恒成立，

即h（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，

當(dāng)x→＋∞時(shí)，h（x）→＋∞

當(dāng)x→－∞時(shí)，h（x）→－∞

因此對(duì)任意的a，存在y＝a與函數(shù)h（x）有交點(diǎn).④正確