【題目】函數(shù)f(x)=x3-kx,其中實數(shù)k為常數(shù).

(1)當(dāng)k=4時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若曲線y=f(x)與直線y=k只有一個交點,求實數(shù)k的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-2),(2,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間是(-2,2).(2) k<.

【解析】試題分析:(1)將參數(shù)值代入得到表達(dá)式,求導(dǎo),研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況,得到單調(diào)性。(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)f(x)k,研究這個函數(shù)的單調(diào)性,使得這個函數(shù)和軸有且只有一個交點等價于g()<0,解出k的范圍即可。

解析:

(1)因為f′(x)=x2-k,

當(dāng)k=4時,f′(x)=x2-4,

令f′(x)=x2-4=0,

所以x1=2,x2=-2.

f′(x)、f(x)隨x的變化情況如下表:

x

(-∞,-2)

-2

(-2,2)

2

(2,+∞)

f′(x)

0

0

f(x)

?

極大值

?

極小值

?

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-2),(2,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間是(-2,2).

(2)令g(x)=f(x)-k,由題意知,g(x)只有一個零點.

因為g′(x)=f′(x)=x2-k.

當(dāng)k=0時,g(x)=x3,

所以g(x)只有一個零點0.

當(dāng)k<0時,g′(x)=x2-k>0對x∈R恒成立,所以g(x)單調(diào)遞增,所以g(x)只有一個零點.

當(dāng)k>0時,令g′(x)=f′(x)=x2-k=0,解得x1或x2=-.

g′(x),g(x)隨x的變化情況如下表:

x

(-∞,- )

(-, )

(,+∞)

g′(x)

0

0

g(x)

?

極大值

?

極小值

?

g(x)有且僅有一個零點等價于g(-)<0,即k-k<0,解得0<k<.

綜上所述,k的取值范圍是k<.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為。

1)求、的值;

2)如果當(dāng),且時, ,求的取值范圍。

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對于任意不相等的實數(shù)x1x2,都有m0;

對于任意的a及任意不相等的實數(shù)x1x2,都有n0

對于任意的a,存在不相等的實數(shù)x1,x2,使得mn;

對于任意的a,存在不相等的實數(shù)x1x2,使得m=-n.

其中真命題有___________________(寫出所有真命題的序號).

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【題目】隨著資本市場的強勢進入,互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風(fēng)來”,遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況,某調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進行抽樣分析,得到表格:(單位:人)

經(jīng)常使用

偶爾或不用

合計

30歲及以下

70

30

100

30歲以上

60

40

100

合計

130

70

200

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為市使用共享單車情況與年齡有關(guān)?

(2)現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網(wǎng)友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.

(i)分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù);

(ii)從這5人中,再隨機選出2人贈送一件禮品,求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率.

參考公式: ,其中.

參考數(shù)據(jù):

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)在點(1,1)處的切線方程為xy2.

(1)a,b的值;

(2)對函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任一個實數(shù)x,不等式f(x)0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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