Question

【題目】設(shè)函數(shù) .

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，都有 ，求的取值范圍；

（3）設(shè)，點(diǎn)是函數(shù)與的一個(gè)交點(diǎn)，且函數(shù)與在點(diǎn)處的切線互相垂直，求證：存在唯一的滿足題意，且.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）函數(shù)單調(diào)遞增得，即對(duì)恒成立，根據(jù)函數(shù)恒成立求出m的范圍即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為mlnπ+cosπ≥0，求出m的范圍即可；
（3）分別求出msinx0=x0，mlnx0=cosx0，聯(lián)立消去m，得x0lnx0-sinx0cosx0=0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

試題解析：

（1）由題意，知，所以，

由題意， ，即對(duì)恒成立，

又當(dāng)時(shí)， ，所以.

（2）因?yàn)?/span>，所以，

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，，故，不合題意；

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，故上單調(diào)遞增；

欲對(duì)任意的都成立，則需，所以，

解得，綜上所述， 的取值范圍是.

（3）證明：因?yàn)?/span>，且函數(shù)與 在點(diǎn)處的切線垂直，

所以，即，

又點(diǎn)是函數(shù)與的一個(gè)交點(diǎn)，所以，

消去，得，

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，且，此與上式矛盾，

所以上沒(méi)有適合題意.

②當(dāng)時(shí)，設(shè)，

則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，

且的圖象在上不間斷，所以函數(shù)在有唯一的零點(diǎn)，

即只有唯一的，使得成立，且，

綜上所述，存在唯一的，且.