Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）是否存在非負(fù)整數(shù)，使得函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）已知，若存在，使得當(dāng)時(shí)，的最小值是，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（注：自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，的值是0，1，2；（3）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算及，利用點(diǎn)斜式，即可求出切線方程。

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要使函數(shù)是單調(diào)函數(shù)即是使或恒成立，對(duì)分類討論，即可求出非負(fù)整數(shù)的值。

（3）通過(guò)討論的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，從而確定實(shí)數(shù)的取值范圍。

解：（1）的定義域?yàn)?/span>.

當(dāng)時(shí)，，.∴.

所以，函數(shù)在處的切線方程為

即

（2）∵，∴，.

當(dāng)時(shí)，.∴是單調(diào)減函數(shù).符合

當(dāng)時(shí)，若是單調(diào)增函數(shù)，則，

即恒成立，這不可能；

若是單調(diào)減函數(shù)，則，

即恒成立，令，其開(kāi)口方向向上，對(duì)稱軸方程為

，，故，∴

又，.

綜上，滿足條件的非負(fù)整數(shù)的值是0，1，2

（3）∵

∴

∴

①當(dāng)0時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù).

所以當(dāng)時(shí)，，不符合題意.

②當(dāng)時(shí)，.

（i）當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下：

				1
	－	0	+	0	－
	↘	極小值	↗	極大值	↘

若滿足題意，只需滿足，整理得.

令，

當(dāng)時(shí)，，

所以在上為增函數(shù)，

所以，當(dāng)時(shí)，.

可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，恒成立，故當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的最小值為.；所以滿足題意.

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，，，0，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

所以在上為減函數(shù).從而在上為減函數(shù).符合題意.

（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

		1
	－	0	+	0	－
	↘	極小值0	↗	極大值	↘

若滿足題意，只需滿足，且（若，不符合題意），

即，且.

又，∴.

綜上，.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.