已知、分別為橢圓:的上、下焦點(diǎn),其中也是拋物線: 的焦點(diǎn),點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn),且。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)(1,3)和圓:,過點(diǎn)的動直線與圓相交于不同的兩點(diǎn),在線段取一點(diǎn),滿足:,(且)。
求證:點(diǎn)總在某定直線上。
(Ⅰ)(Ⅱ)設(shè)由可得由可得⑤×⑦得:,⑥×⑧得:,兩式相加得又點(diǎn)A,B在圓上,且,
所以,即,所以點(diǎn)Q總在定直線上
解析試題分析:(1)由:知(0,1),設(shè) ,因M在拋物線上,故
① 又,則 ②,
由①②解得 (3分)
橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)(0,1),,點(diǎn)M在橢圓上,有橢圓定義可得
∴又,∴,橢圓的方程為: (6分)
(2)設(shè),
由可得:,
即 (9分)
由可得:,
即
⑤×⑦得:
⑥×⑧得: (10分)
兩式相加得 (11分)
又點(diǎn)A,B在圓上,且,
所以,
即,所以點(diǎn)Q總在定直線上 (12分)
考點(diǎn):橢圓拋物線方程性質(zhì)及直線與圓相交
點(diǎn)評:解題時(shí)充分利用拋物線的定義:拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,能使解題過程簡化;第二問中的向量關(guān)系常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系,證明點(diǎn)在定直線上的主要思路是驗(yàn)證點(diǎn)的坐標(biāo)始終滿足于某直線方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,直線與軸交于點(diǎn),過點(diǎn)且傾斜角為30°的直線交橢圓于兩點(diǎn).
(Ⅰ)求直線和橢圓的方程;
(Ⅱ)求證:點(diǎn)在以線段為直徑的圓上;
(Ⅲ)在直線上有兩個(gè)不重合的動點(diǎn),以為直徑且過點(diǎn)的所有圓中,求面積最小的圓的半徑長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:()經(jīng)過與兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),橢圓C上一點(diǎn)M滿足.求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為,且過雙曲線的頂點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)命題:“設(shè)、是雙曲線上關(guān)于它的中心對稱的任意兩點(diǎn), 為該雙曲線上的動點(diǎn),若直線、均存在斜率,則它們的斜率之積為定值”.試類比上述命題,寫出一個(gè)關(guān)于橢圓的類似的正確命題,并加以證明和求出此定值;
(3)試推廣(Ⅱ)中的命題,寫出關(guān)于方程(,不同時(shí)為負(fù)數(shù))的曲線的統(tǒng)一的一般性命題(不必證明).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知F1、F2分別為橢圓C1:的上、下焦點(diǎn),其中F1也是拋物線C2:的焦點(diǎn),點(diǎn)A是曲線C1,C2在第二象限的交點(diǎn),且
(Ⅰ)求橢圓1的方程;
(Ⅱ)已知P是橢圓C1上的動點(diǎn),MN是圓C:的直徑,求的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
曲線,曲線.自曲線上一點(diǎn)作的兩條切線切點(diǎn)分別為.
(1)若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求;
(2)求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).若以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ) 求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ) 求直線被曲線所截得的弦長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系有相同的長度單位,以原點(diǎn)為極點(diǎn),以正半軸為極軸,已知曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù),,射線與曲線交于極點(diǎn)外的三點(diǎn)
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),兩點(diǎn)在曲線上,求與的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)P在橢圓C上,且|PF1|=,
|PF2|= , PF1⊥F1F2.
(1)求橢圓C的方程;(6分)
(2)若直線L過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點(diǎn),且A、B關(guān)于點(diǎn)M對稱,求直線L的方程.
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