【題目】已知函數(shù),,其中.

1)求函數(shù)的值域;

2)用表示實數(shù),的最大值,記函數(shù),討論函數(shù)的零點個數(shù).

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】

1)求導得到,討論得到函數(shù)單調(diào)遞增,計算得到答案.

2時,恒成立,當時,恒成立,故的零點即為函數(shù)的零點,討論的零點個數(shù)得到答案.

(1)

時,,,所以

時,,,所以

所以:當時,成立,即函數(shù)單調(diào)遞增

所以函數(shù)的值域為,即值域為.

(2)函數(shù)的定義域為

由(1)得,函數(shù)單調(diào)遞增,

時,,又,

所以時,恒成立,即時,無零點.

時,恒成立,所以的零點即為函數(shù)的零點

下面討論函數(shù)的零點個數(shù)

,所以

Ⅰ、當時,因為

又函數(shù)在區(qū)間遞減,所以

即當時,

所以單調(diào)遞減,由得:當遞增

,遞減

,當

,

時,函數(shù)有1個零點;

時,函數(shù)有2個零點;

時,函數(shù)有3個零點;

Ⅱ、當時,,由Ⅰ得:當時,,遞增,

時,,遞減,所以,

所以當時函數(shù)有2個零點

Ⅲ、當時,

,,即成立,由,

所以當時函數(shù)有1個零點

綜上所述:當時,函數(shù)有1個零點;

時,函數(shù)有2個零點;

時,函數(shù)有3個零點.

練習冊系列答案
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