Question

【題目】

已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）求的單調(diào)區(qū)間，若有最值，請求出最值；

（2）是否存在正常數(shù)，使的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線？若存在，求出的值，以及公共點坐標(biāo)和公切線方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)所以當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為，無最大值 ；

(Ⅱ)存在，使的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線，易求得公共點坐標(biāo)為，公切線方程為．

【解析】

解：（1）……61分

①當(dāng)恒成立

上是增函數(shù)，F只有一個單調(diào)遞增區(qū)間（0，-∞），沒有最值…3分

②當(dāng)時，，

若，則上單調(diào)遞減；

若，則上單調(diào)遞增，

時，有極小值，也是最小值，

即…………6分

所以當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為

單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為，無最大值…………7分

（2）方法一，若與的圖象有且只有一個公共點，

則方程有且只有一解，所以函數(shù)有且只有一個零點…………8分

由（1）的結(jié)論可知…………10分

此時，

的圖象的唯一公共點坐標(biāo)為

又

的圖象在點處有共同的切線，

其方程為，即…………13分

綜上所述，存在，使的圖象有且只有一個公共點，且在該點處的公切線方程為…………14分

方法二：設(shè)圖象的公共點坐標(biāo)為，

根據(jù)題意得

高考資源網(wǎng)

即由②得，代入①得

從而…………10分

此時由（1）可知

時，

因此除外，再沒有其它，使…………13分

故存在，使的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線，易求得公共點坐標(biāo)為，公切線方程為…………14分