Question

已知數列和滿足：，，，
其中為實數，.
⑴ 對任意實數，證明數列不是等比數列；
⑵ 證明：當，數列是等比數列；
⑶設為數列的前項和，是否存在實數，使得對任意正整數，都有？
若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

⑴證明略⑵證明略⑶存在實數，使得對任意正整數，都有，的取值范圍為.

⑴證明：假設存在一個實數，使是等比數列，則有，
即矛盾.
所以不是等比數列.
⑵ 解：因為


又，所以，當時，
由上可知，
此時是以為首項，為公比的等比數列.
⑶當時，由⑵得 ，于是
，
當時，，從而上式仍成立.要使對任意正整數n , 都有.即
令，則
當n為正奇數時，；當n為正偶數時，.
的最大值為于是可得 .
綜上所述，存在實數，使得對任意正整數，都有，的取值范圍為.