Question

如圖，在單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設M是△A₁BD內(nèi)任一點（不包括邊界），定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是三棱錐M-ADA₁、三棱錐M-ABA₁、三棱錐M-ADB的體積．若，且ax+y-108xy≥0恒成立，則正實數(shù)a的最小值為________．

Answer 1

4
分析：由已知中M是△A₁BD內(nèi)任一點（不包括邊界），，結(jié)合f（M）=（m，n，p）的定義，我們易得x+y=（x＞0，y＞0），故我們可將ax+y-108xy≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為a≥108y-=12-（108x+）恒成立，再由基本不等式求出12-（108x+）的最大值，即可得到答案．
解答：∵M是△A₁BD內(nèi)任一點
∴三棱錐M-ADA₁、三棱錐M-ABA₁、三棱錐M-ADB的體積和等于三錐錐A-A₁BD的體積
即f（M）=（m，n，p）中，m+n+p=
當時，可得x+y=（x＞0，y＞0）
若ax+y-108xy≥0恒成立
則a≥108y-=12-（108x+）恒成立，
∵12-（108x+）≤10-6=4
∴正實數(shù)a的最小值為4
故答案為：4．
點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，基本不等式，其中根據(jù)M是△A₁BD內(nèi)任一點，結(jié)合，得到x+y=（x＞0，y＞0），進而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題，是解答本題的關鍵．